Eigenwerte und -vektoren

Gegeben sei die Matrix . Berechnen Sie mittels des charakteristischen Polynomes die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren .

Anleitung:

1. Laden Sie das Paket linalg, damit Sie mit Matrizen rechnen können.
2. Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren nach folgender Vorgehensart:
• Das charakteristische Polynom einer Matrix A ist die Determinante von A - x·E, also p(x) = det(A - x·E), wobei E die Einheitsmatrix ist.
• Die Eigenwerte einer Matrix A sind die Nullstellen des charakteristischen Polynomes p(x).
• Die Eigenvektoren sind Lösungen des Gleichungssystems (A - · E) · = 0.
3. Testen Sie die Richtigkeit ihrer Rechnung. Es muß gelten: A · = · .
4. Versuchen Sie herauszufinden, ob Maple für diese Berechnungen Befehle bereitstellt. Schauen Sie sich dazu die Hilfeseite des linalg-Paketes an.

Hinweise:

• Matrizen werden mit dem Kommando matrix implementiert.
• Die Einheitsmatrix können Sie beispielsweise mit dem band-Befehl erstellen.
• Die Determinante einer Matrix wird mit dem det-Befehl errechnet.
• Nullstellen von Polynomen werden mit dem Kommando solve berechnet.
• Der Befehl evalm wertet Ausdrücke mit Matrizen und Vektoren aus. Wollen Sie beispielsweise die Matrizen A und B multiplizieren, so lautet das Kommando: evalm(A &* B);
• Für lineare Gleichungssysteme steht der linsolve-Befehl zur Verfügung.