Wachstum einer Mäusepopulation

Durch höhere Gewalt gelangen 50 Mäuse auf eine einsame, kleine Insel, auf der es keine natürlichen Feinde gibt.
Das Wachstum der Mäusepopulation kann theoretisch durch die logistische Differentialgleichung N'(t)=r * N(t) * (1 - N(t)/K ) beschrieben werden. Dabei sind N(t) die Individuen einer Population zum Zeitpunkt t, K die Kapazität des Populationsgebietes und r die potentielle Wachstumsrate.
Der erste Summand der DGL gibt ein theoretisches Wachstum an, das unbegrenzt ist. Tatsächlich ist aber die Nahrungsmenge begrenzt und es entsteht bei sehr hoher Populationsdichte ein Streßfaktor, der das Wachstum bremst. Dieser Zusammenhang wird durch den zweiten Summanden der DGL ausgedrückt.
In unserem Fall beträgt die Kapazität K=1400 und die Wachstumsrate r=1/3. Zum Zeitpunkt t=0 gibt es 50 Mäuse.

• Lösen Sie zunächst den allgemeinen Fall der Differentialgleichung (ohne Anfangsbedingung) und lassen sich die Kurvenschar plotten.
  
• Lösen Sie dann die DGL mit der Anfangsbedingung und berechnen Sie die Anzahl der Monate, nach denen die Population 1111 Mäuse umfaßt. Lassen Sie sich die Populationskurve und das Richtungsfeld der Differentialgleichung plotten.
  

Anleitung:

• Lösen Sie die Differentialgleichung mit dsolve. Für den Plot des Richtungsfeldes steht das dfieldplot-Kommando aus dem DEtools-Paket zur Verfügung.