Prof. Dr. Tassilo Küpper   Vorlesung                             DYNAMISCHE SYSTEME
                                             4 St. Di. 15.30-17.00, Fr. 10-13
                                             im Hörsaal des Mathematischen Instituts   Übungen                              zu "Dynamische Systeme"
                                            mit M. Kunze
                                            2 St. nach Vereinbarung
 

Seminar                               über Angewandte Mathematik (privatissime)
                                            mit A. Zapp
                                            2 St. Do. 10.00-12.00
                                            im Seminarraum 1 des Mathematischen Instituts
 

Oberseminar                        über "Nichtlineare Probleme der Mathematischen
                                                Physik und Biologie"
                                            (gemeinsam mit H. Lange)
                                            2 St. Do. 16-18 im Seminarraum 1 des Mathematischen Instituts
 

Seminar                               des Graduiertenkollegs "Scientific Computing"
                                            mit den Dozenten des Graduiertenkollegs
                                            2 St. Mi 16-18 im Seminarraum 302 des Instituts für
                                            Physikalische Chemie
 

Die Theorie der Dynamischen Systeme befaßt sich mit qualitativen Eigenschaften von Evolutionsprozessen. In dieser Vorlesung beschränken wir uns auf endlich-dimensionale dynamische Systeme, d.h. auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen und auf diskrete dynamische Systeme. Im Vordergrund steht das asymptotische Verhalten für Lösungsgesamtheiten. Dieses wird charakterisiert mit Hilfe von invarianten Mengen, Attraktoren und dem Konzept der invarianten Mannigfaltigkeiten (stabile, instabile, Zentrums- usw.) Darüber hinaus wird die strukturelle Stabilität dynamischer Systeme untersucht. Diese Konzepte werden anhand konkreter Beispiele aus der Schwingungstheorie und der Populationsdynamik erläutert. Voraussetzung für diese Vorlesung sind gute Kenntnisse in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, etwa im Umfang von

Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 1996.

Als ein besonderer Schwerpunkt der Vorlesung werden Hamiltonsche Systeme behandelt, also solche, für die es eine "Energiefunktion" gibt, welche konstant entlang von Lösungen ist: Zunächst wird der Hamiltonsche Formalismus kurz eingeführt (symplektische Formen, Konfigurationsraum). Daran schließt sich die Diskussion integrabler Systeme und Störungen derselben an (Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorie). In einem abschließenden Kapitel werden dann periodische Lösungen von Hamilton?schen Systemen behandelt.

Literatur:

  1. Mawhin/Willem: Critical Point Theory and Hamiltonian Systems, Springer 1989
  2. Hofer/Zehnder: Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamischeamics, Birkhäuser 1994.
Im Seminar werden Themen aus der Populationsdynamischeamik behandelt. Zu Beginn werden einige Begriffe aus der Theorie der Dynamischeamischen Systeme und der Populationsdynamischeamik anhand der Lotka-Volterra-Gleichung, dem Musterbeispiel eines populationsökologischen Modells, vorgestellt. Der zweite Teil behandelt die Frage, welche Strategien einzelne Spezien, die miteinander konkurrieren, verfolgen müssen, um den Artbestand zu sichern. Mathematisch modelliert werden solche Fragestellungen mit Hilfe sogenannter spieldynamischeamischer Differentialgleichungen, einer Kombination aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen und der Spieltheorie.

Das Seminar orientiert sich an dem Buch Hofbauer/Sigmund: "Evolutionary Games and Population Dynamischeamics", Cambridge University Press 1998.

Mathematisch sind Kentnisse der gewöhnlichen Differentialgleichungen und der linearen Algebra notwendig. Die spieltheoretischen Hintergründe sollen im Seminar vermittelt werden. Das Seminar richtet sich hauptsächlich an Studenten, die gerade ihr Vordiplom abgelegt haben und nun am Beginn ihres Hauptstudiums stehen.

Möglicherweise wird das Seminar als Blockseminar angeboten. Eine Vorbesprechung findet am Dienstag, 9. Februar 1999, um 17.00 Uhr im Anschluß an die Vorlesung statt.

Zuordnung D Angewandte Mathematik